Das Algebra-Quiz für Mathestudenten

  1. Erstellt von: Peter Mosch

So, nach langer Zeit kommt nun die heißersehnte *ähem* Fortsetzung des "Mathequiz für Erstsemester". Diesmal geht es um Stoff aus Algebra-Vorlesungen (mittlerer Semester). Seid ihr Meister der abstrakten Strukturen? Testet euch jetzt!

Frage 1: Welche Aussage über euklidische Ringe ist falsch?
Euklidische Ringe sind stets faktoriell.
Der Ring Z der ganzen Zahlen ist euklidisch.
Euklidische Ringe sind stets Hauptidealbereiche.
Z[X] (wobei Z=ganze Zahlen) ist euklidisch.
Jeder Körper ist euklidisch.

Frage 2: Wie viele Isomorphieklassen abelscher Gruppen der Ordnung 8 gibt es?
Zwei.
Vier.
Unendlich viele.
Drei.
Eine.

Frage 3: Sei f von G nach H ein Gruppenhomomorphismus. Welche Eigenschaft folgt daraus im Allgemeinen noch nicht?
Das Bild von f ist eine Untergruppe von H.
Das neutrale Element in G wird auf das neutrale Element in H abgebildet.
F(a) * f(b) = f(b) *f (a)
Der Kern von f ist sogar ein Normalteiler in G.
Der Kern von f ist eine Untergruppe von G.

Frage 4: Welcher platonische Körper ist dual zu sich selbst?
Der Dodekaeder.
Der Hexaeder.
Der Tetraeder.
Der Oktaeder.
Der Ikosaeder.

Frage 5: Welche Aussage über maximale Ideale ist falsch?
Ein maximales Ideal enthält keine Einheiten des Rings.
Sei M ein Maximales Ideal des Rings R, dann ist R/M ein Körper.
Wenn R ein Körper ist, so ist das Nullideal maximal.
Sei M ein Maximales Ideal des Rings R, dann ist R/M ein Integritätsbereich.
Jeder Ring hat genau ein maximales Ideal.

Frage 6: Wann heißt ein Modul M über einem Ring R frei?
Wenn es ein Element in R mit multiplikativem Inversen gibt.
Wenn R Nullteiler enthält.
Wenn der zugrunde liegende Ring R ein Einselement besitzt.
Wenn sein Torsions-Untermodul nicht nur die 0 enthält.
Wenn er isomorph zu einer direkten Summe von R ist.

Frage 7: Welcher der folgenden (Schief-)körper ist nicht algebraisch abgeschlossen?
Der Körper der komplexen Zahlen.
Der Körper der rationalen Zahlen.
Jeder algebraische Erweiterungskörper eines algebraisch abgeschl. Körpers.
Der Körper der algebraischen Zahlen.
Der Körper der Quaternionen.

Frage 8: Welche Aussage über noethersche Ringe ist falsch?
Ist M ein endlich erzeugter Modul eines noetherschen Ringes, so ist M noethersch.
Jeder noethersche Ring ist artinsch.
Ist R noethersch, so auch R[X].
Jeder artinsche Ring ist noethersch.
Hauptidealringe sind stets noethersch.

Frage 9: Welche Ordnung hat die Gruppe S_5 der Permutationen einer 5-elementigen Menge?
25
5
15
120
55

Frage 10: Welche Aussage über Primzahlen ist falsch?
Ist weder a noch b durch eine Primzahl p teilbar, so auch nicht a*b.
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
1 ist per Definition keine Primzahl.
Eine Zahl der Gestalt 2^n + 1 ist stets eine Primzahl.
Gruppen mit Primzahlordnung sind stets abelsch.

Frage 11: Welches Rechengesetz erfüllen Ringe im Allgemeinen nicht?
Das Assoziativgesetz der Multiplikation.
Das Assoziativgesetz der Addition.
Es existiert für jedes Element ein multiplikatives Inverses.
Das Kommutativgesetz der Addition.
Es existiert für jedes Element ein additives Inverses.

Frage 12: Wann heißt eine Körpererweiterung L: K normal?
Wenn alle Minimalpolynome von Elementen aus L nur einfache Nullstellen haben.
Wenn alle Minimalpolynome von Elementen aus L irreduzibel sind.
Wenn alle Minimalpolynome von Elementen aus L in Linearfaktoren zerfallen.
Wenn sie von einem einzigen Element erzeugt wird (also L=K(a)).
Wenn L und K beide Charakteristik 0 haben.

Frage 13: Was ist eine p-Gruppe (p sei eine Primzahl)?
Eine Gruppe mit Ordnung von der Gesalt p^n.
Eine Gruppe, in der jedes Element Ordnung p hat.
Eine Gruppe, in der die Ordnung jedes Elements von der Gestalt p^n ist.
Eine Gruppe der Ordnung p.
Eine Gruppe, in der p Elemente miteinander kommutieren.

Frage 14: Sei (K,+,*) ein Körper. Was gilt dann im Allgemeinen nicht?
(K,+,*) ist ein Integritätsbereich.
(K,+) ist eine abelsche Gruppe.
(K,+,*) ist ein Modul über sich selbst.
(K,+,*) ist ein Ring.
(K,*) ist eine (im Allgemeinen nicht-abelsche) Gruppe.

Frage 15: Welche Aussage aus der Gruppentheorie stimmt?
Jede zyklische Gruppe ist abelsch.
Jede Gruppe enthält eine nicht-triviale Untergruppe.
Jede nicht-abelsche Gruppe ist isomorph zu einer Permutationsgruppe.
Jede Gruppe mit gerader Ordnung ist zyklisch.
Jede Halbgruppe mit einem neutralen Element ist eine Gruppe.

Frage 16: Welche Aussage über Diedergruppen ist falsch?
Sie sind Isometriegruppen regelmäßiger Vielecke in der Ebene.
Sie sind Coxeter-Gruppen.
Sie sind Halbguppen.
Sie sind abelsch.
Ihre Ordnung ist stets gerade.

Frage 17: Welches der folgenden Polynome aus Z[X] ist primitiv?
384x-93
28x^3+21x^2+63x+56
3x^3-14x^2+9x+5
2x^2-32x-1024
34x^2-16x-52

Frage 18: Aus wie vielen unterschiedlichen Primfaktoren besteht die Primfaktorzerlegung der Zahl 42?
Drei.
Zwei.
Zweiundvierzig.
Vier.
Fünf.

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